一堆沙悖论 (The Sorites paradox)

把一粒沙放置在一个地方，它不形成一堆沙;
加上一粒，成了两粒，也还不成一堆沙；
再加一粒，成了三粒，还是不成一堆沙……

如此一粒一粒加上去，加到了99,999粒，算不算是一堆沙？加到了100,000 粒，是不是一堆沙？

这是逐步增加的情况。逐步减少呢？

一个人，拥有满头秀发，也许有100,000根吧，拔去一根，这人就变成秃子了吗？当然不会！100,000根拔去一根，还有99,999根，还是满头秀发，怎会是秃子呢？
再拔一根，再一根，又一根呢？……..继续拔下去，最后会一根也不剩，而变成秃子了。很明显地，从毫无疑问的满头秀发开始，采取了一连串的小步骤，每一个小步骤本身都微不足道，而终于达到了毫无疑问的秃头的结局。每一个小步骤本身都没有造成此巨变的效应。我们能不问：这变化起於何时？

这个很古老的悖论，可追溯到古希腊逻辑学家Eubulides. Sorites出自希腊文soros,是"一堆"的意思。尽管它历史悠久，许多学者花了许多时间精力去研究，但至今人们对它还没有一致的解决方案。

问题出在我们的自然语言中的一些形容词的模糊性。不只是堆、秃两个形容词有这样的麻烦，其他普通的形容词如高矮、大小、贫富、胖瘦等等，都是模糊的，中间没有一个明确的分界线，把他们隔开。他们之间的差别，是程度上的差别。

传统逻辑的二值特性，应用到这类自然语言上的模糊词，免不了会有磨擦。为了更进一步协调两者，倡议发展模糊逻辑或其他多值逻辑，是顺理成章的事。

模糊逻辑 (Fuzzy Logic): 传统逻辑是二值的，即一个命题，只有两个“真值”，真的或是假的，没有第三个值。这种逻辑要求，对含有模糊词的自然语言，未免太苛刻。逻辑若要使用繁复的自然语言，似有放宽要求的必要。模糊逻辑最早应用在电子计算机上是为允许不准确性和有程度上的真值而设。真值被看作一个连续体，从0 到 1 的，1 代表真，0 代表假。中间的值数，代表程度上的真假，如0.8 代表“大体上是真的”，模糊逻辑对“人工智能”(AI)的发展极其重要，日常生活上的洗衣机和量血压器，多用到模糊逻辑。

喜欢批人说话不逻辑的朋友，请小心使用或干脆别用模糊词，免得自打嘴巴。

爱抽烟又爱健康的朋友切记这个悖论;想到要戒烟马上就戒，不要下不为例，因为你不知道抽到第几支烟时病发。

邱辑

悖(Bei)论(Paradox)

(一)理发师的悖论

"在一个村庄里，有一位理发师，他只为所有不剃自己的胡子的人剃胡子”. 可能吗？谁为他剃胡子呢？如果他为自己剃胡子，那他就不只为不剃自己胡子的人剃胡子了；如果他不为自己剃胡子，那他就没为所有不剃自己胡子的人剃胡子了。

表面上看，这句话似很单纯，仔细分析，就会发现它的内在矛盾，它的逻辑不可能性。

符合这这个描述的理发师，是不存在的，因为理发师不可能同时属于“剃自己胡子”和“不剃自己胡子”这两组人。

基于看似正确的假设，作出看似可靠的推理，但却得到矛盾的结果的，就是悖论。

理发师悖论的重要性，不在于它的内容，而在于它的形式。结构上，它与罗素悖论是一样的，那是一个在数学基础理论上非常重要的课题。

集合论(set theory)在数学上很重要；从哲学的视角，数、关系和函数，可以用集合论来完整无余地阐述而使数学建立在纯逻辑的基础上。一百年前，德国数学家/哲学家弗雷格（Frege）就曾尝试通过集合论来作算术的逻辑定义，当时的先驱们以为可以毫无约束地定义集合。罗素认识到其中的困难。他发现，有些集合，可以其本身为元素，有些则不能，如素数或质数这个集合，本身就不是个素数或质数。罗素提出"所有不是其本身的元素的集合"这个集合(the set of all sets that are not member of the set)，是不是它本身的元素？在形式上，这个悖论和理发师悖论是一样的。我们可以断言没有这样的理发师，但如果我们说没有这个集合，那就等于把当时刚建立起来的集合论的基础炸开一个大洞！

罗素悖论清楚表明，当时的集合论的数学定义和处理出了困难。解决这困难，在于适当地限制集合的元素资格。集合论因而从朴素集合论进入到公理集合论。

我有意识地和悖论打交道，始于学集合论，而当时就是学罗素悖论或理发师悖论。我一直记得清楚的，而且时不时拿来玩玩的，是理发师悖论。至于罗素悖论，就有点模糊了。如果不是"温习"了一下，恐怕写不出上面那段文字了。不是因为老了，而是玩的东西好学好记，正经的东西难学难记也。

类似理发师悖论的例子很多，我们也许平时不小心身陷其中而不觉。如骗子说“我说谎” 或者骗子说“我是骗子”， “这句话是假的”，这类自指(self-reference)句，多有这个问题，大家要小心。

邱辑

创业

这里讲的，不是年轻人开始一个新事业，如打一份工，或开一间花店。这里说的，是创立一个新行业。

数月前开始的金融海啸，几乎影响到全球各地，有人受重创，有人受轻伤，有人失 业。失业的正确出路不外找新工作或自己创业，但在受金融冲击的环境下，谈何容易？能够动动脑筋，创个新行业，倒不失为一良方。

不管是哪一意义的创业，都是困难的，尤其是创立一新行业，更须有创意。但如果你不是心怀大志，非要赚大钱不可，又肯细心观察身边的事，灵感的源泉，大约不会自绝於你。且看下面这个奇特的例子。

2008 年12月5日凌晨，某论坛出现了一个题为《我把自己的下半生交给网络》 的帖子。这个看起来不起眼的帖子在当天便引来一百多人次的回帖，并很快被置顶。发帖人声称她是个25岁的北漂女孩，愿意把自己的后半生交给网络，由网友来 安排自己的生活。到了12月尾，该帖已被翻至100多页，回帖量也逼近2万，成为论坛最火的帖子之一。这个发帖的女孩叫陈潇，陈潇说：“你们来安排我的生活吧!”。 首次发帖时，她的文字感伤而有些颓废，甚至觉得“活着真没意思!” 为了让自己能够感觉到生命的意义，网友“我撕故我在”决定把自己的后半生交给网络，由全体网友来安排她的剩余生活，这样，她才能感觉到自己“依然有活着的价值”。

　　这样的宣告令网友哗然。从12月5日起，陈潇就 开始依次完成网友们交给她的任务。第一项任务是网友“猎虎狼”提出的“做个胜利的手势拍张照片发过来”，很快，陈潇按网友说的拍了照片发到网上。第二天， 她一口气完成了网友交给她的5项任务：早上去天安门广场看升国旗并拍两张照片;上午去北京大学和清华大学门口拍照片;中午代替网友去一家过桥米线店吃一 顿;下午去上地环岛拍一张照片，还要奔往长城和好汉石合影一张。此后，她每天都在网友的安排下“充实地活着”，为网友送咖啡、买书，代网友品尝小吃、去机 场接人、看望智障人士……并把所有任务照片发布到网上。

目前，陈潇已在网友的安排下，完成了数项任务，包括拍照、接人、代人品尝食物等等，她也因此红遍网络，并获“netgirl”称号，红网论坛等国内知名论坛对这一事件进行了转帖。

有人说她炒作。但我以为无论如何，陈潇的确向我们示范了创造行业的新构想。

如果不幸一些商业银行在2009步2008年投资银行的后尘，恐怕会有更多人会失业。陈潇不是为失业而创业，但她的构想，可以启发我们的灵感 。我们何不也来动动脑筋，尝试精明创业? 也许会撞出一个春天来。

我的脑筋已老化，不容易挤出新思维来。但我的经验还可以告诉我，我们身边有好些事没人去好好地做。有志于找碗饭吃的人，还是可以动动脑筋，把他们做好。举个例子：家里电供出问题，找个技工来修理，也许要等上几天，天天要听他我下午就来的“狼来了”…..水喉坏了…..屋顶漏了….你是不是也经验过一些苦恼？为什么技工不能铁定的告诉我们：我一小时后到你家，帮你搞定？年轻人为什么不想个办法，办好这样的事？

代人寄信、买货、送货、这类被降格为“跑腿”的事，其实也是正当职业，没什么卑贱不卑贱的问题存在。游手好闲， 做伸手将军才卑贱。

当废铁，废纸等有价时，亲自到各家各户去收购废铁废纸，也不失为一个可以维生的行业。同时也是对环保的奉献，是件非常有意义的事。

我已说了，我脑筋老化，想不出新把戏来。年轻人，你们来想吧。记得陈潇的一些特点；第一，她敢想别人也许没想过的；第二，她靠网友支持（要把事办好，合作是一个重要条件；竞争也许会害人，因为竞争始于良性，终于恶性）；第三，除了不道德的事，她都愿做，不耻轻微，不嫌卑贱；第四， 你去想吧；如果你连这都不去想，你大概也不是创业的料。不如去耕田吧，沙巴正缺乏农人。


陶正

后座乘客不系安全带要坐牢的省思

接近三个月没写网志，可以说是一年前开始写到现在少有的现象。不能说忙，也不是没话可说。想来是年纪大了，体力脑力都在退化，效率差了，事情想不清，想不透，不想胡乱写。多少也有点兴尽意阑。前几天与女儿通电话，也提到彼此的blog,大家都越来越少写，我还劝她：有屁才放，没屁就算。倒是儿子的blogs,几乎天天都在写，说忙碌，该他最忙，我最悠闲。所以，不写与忙不忙没太大关系。虽然近三月没写，读者倒还是有的，不过看看统计，似是故人渐去新人来。这就有点违反写blog的原意了。

这算是向故人交待近况了？

今天是星期天，早上看报，上面那标题赫然撞入眼帘，真有点惊心动魄。
新闻内容大约是这么说：陆路交通局发出警告，明年一月起，他们就要严厉取缔不系扣汽车后座安全带者，在六个月之后，违例者可直接被控上法庭，罪成罚款二千令吉，或坐牢不超过一年或两者兼施。

广东人说“问你怕未？“

近年来法庭本来就待审案件堆积如山，这一两年来，几经努力，才有舒缓的迹象。现在若真来这一招，法庭旧病非复发不可；而这些算是芝麻绿豆的小案，法庭会优先处理吗？政府各部门之间的协调，看来还远远未到位。各喊各的，各办各的，最后应了一句广东话：得个讲字。喊狼来了狼来了而狼不来，后果又会怎样呢？

当局这样做法，还带来怎样的信息呢？

第一，我们的国民素质非常的差。我们不知道安全带的重要性，或者知道了，但不自爱，不自动自发系扣安全带，以保护自己，需要政府以酷刑强迫我们保护自己。

第二，当局对国民的教育非常失败，从学校到社会教育都失败。否则，我们对安全带就不会不甚了了或爱理不理。

但我以为更严重的是，市民可能对当局的做法，另有想法。这种想法，表达了对政府没信心。那更可悲。

根据美国James Madison University 的研究报告：

每年有20% 的驾驶人牵涉交通意外，美国一年死于交通意外的人数有三万多人，如果系上安全带，有约一半的人不致死亡；90%驾驶人相信安全带的好处，但只有14%的人使用安全带。正确地使用安全带可以减少60到70%的交通意外死亡。 被提醒时，十个人之中有九个会系扣安全带；100个死于交通意外的儿童，80个可以获救，如果他们系上安全带或坐在儿童安全椅上。

我们自911事件后，尤其是金融海啸后，对美国人已另有看法。但就使用汽车安全带这件事来说，我们的国民素质比得上美国人吗？

澳洲行（3）

赌鬼斩手指发誓不再赌在戏里真实世界里都有，即使做得诚心诚意，但一有机会，赌鬼又会不由自主地涉赌了。爱书的人和赌鬼是难兄难弟，见到心爱的书，叫他不买和要赌鬼不赌一样难。

这回在吉隆坡“学林“，买了一套两册“哲学大辞典”，一本金岳霖的“论道”，在“白屋”买了一本南怀瑾老师的新著“禅与生命的认知”，在墨尔本Chadstone Mall 的Boarders ，在墨尔本国际机场又买了几本，包括 Roger Penrose 的“The Road to Reality ”和一本叫 “Big Questions in Science”的书。假使我能以现在的速度读书读到七十五岁，我估计已读不完已拥有的书了。不是我坐拥书城，是我读书速度慢。我不止一次告诉自己，提醒自己：不要再买书了，你的书今生已读不完了，不要浪费钱了。可是我见不得心爱的书，如赌鬼不能碰上赌博的机会。我这一趟出门，共买了九本书，现款不足就刷卡，书超重就托侄儿代劳带回沙巴。那两本辞典重五公斤，我总不能把它从吉隆坡带到墨尔本再带到亚庇。

赌鬼斩了手指还要赌有他的借口，我买书何尝没有？我退休后自修哲学，哲学辞典是必需的工具书，英文的，我有一套 很完善的 Cambridge Dictionary of Philosophy；中文的，有一本 Harper Collins 哲学辞典，有点营养不良的样子，另一本“大辞海” 哲学卷，有点唯物辩证论至上的韵味，说不上是利器，如此武装自己，如何能工善其事呢？我是不是该花三百多元买这套上海辞书出版社新出的哲学辞典？

至于“论道”，我找这本绝版书已找了好几年了，每次到中国大陆书店，必专程找它。这次见到，哪里还肯放过？我喜欢金岳霖，不单是因为他是个当代中国擅长于逻辑的哲学家，我特别喜欢他的文人风格，如他和梁思成一家的情谊，他写“知识论”的态度，都令我敬仰。第二次世界大战期间，他任教西南大学，在战乱困苦中写完了“知识论”，手稿却因搬迁而遗失。他的不屈不挠刻苦耐劳重新再写的精神，是我书架上摆有一本一寸半厚的“知识论”的缘由。“论道”是他的哲学创作，表达他的形而上学观点。要认识金岳霖，一定要读他的“论道”。我能不买这书吗？

借口是不难找的，而且，只要你振振有词，就变成说服力强的理由了。赌鬼都可以说出很多漂亮的理由，何况书虫？

“Big questions in Science” 收了40篇文章，探讨20个大问题，每个问题有一篇评注和一篇由专家撰写的探讨文章。这20个大问题是：上帝存在吗？宇宙如何开始？时间是什么？意识是什么？ 思想是什么? 梦是什么？智能是什么？语言如何演进？我们是先天还是环境所塑造的？男女有何区别？什么令人恋爱与失恋？什么造成侵略性？应该干涉自然吗？我们能否消灭疾病？我们会不再疼痛吗？我们能不再饥饿吗？我们仍在进化吗？其他星球上有生命吗？世界将会如何毁灭？生命是什么？

好大的问题！几十年来，或多或少，也曾想过这些问题，但除了“意识”之外，都不了了之，不去深入追问。“意识”倒是仍在追问，就是问不出一个所以然来。读了这本书，倒是增进了不少见识，收获不小。

在“什么是时间”里，有一则解释熵的片段，令人耳目一新。节译出来分享：“香水为什么只从瓶中流出而不自己从外倒流入瓶？十九世纪奥地利物理学家Ludwig Boltzmann 这样推论：先计算有多少个方法可以把一瓶香水的分子安排得很平均地分布在一间房子里；然后计算有多少种方法可以把他们安排在一个瓶子里。根据Boltzmann 的结论，前者比后者大非常多倍，是1 后面加上很多个零，比全英国图书馆中的书本还要多。香水分子相互撞击，一般上会随意地从一种安排转到另一种安排，由于这两种安排方法在数量上的惊人差异，瓶盖打开，香水终会分散到瓶外去。” 四十年前，我学热力学第二定律时，如果讲师这样教我，我相信我会明白。

澳洲行（2）

九月是澳洲的初春，梅花桃花盛开，满树是花，美极了。

山茶花。

一家与裕威道英伉俪喝了早茶后合影。

你能告诉我，这树洞是怎样形成的？这里有个传说，说一个小女孩失踪了，找来找去找不到。后来从树洞里一望，就见到女孩蹲在小溪旁。神秘的树洞！

全家福。卓成殷庄，都在墨尔本念大学，对澳洲自有一番留念。在墨尔本拍个全家福，也就有它的意义了。

儿子34岁生日提早庆祝。这是他妹妹的花样，要给哥哥一个惊喜。

孙女煦芸和晨睿不爱穿毛衣，戴手套，不是不怕冻，是小不更事 。

煦芸的雪人。

澳洲行（1）

女儿去年去澳洲工作。虽说她曾经在澳洲生活过很多年，在墨尔本也有很多朋友，她还是盼 望我们去探望她。年头订了今年八、九月的便宜机票，先到吉隆坡探儿子一家，再去澳洲。儿子一家也约定我们一家人在墨尔本团圆。我们也顺便去探望多年不见的老同学。

上图右起：1，同学桂兰的夫婿，2，黄裕威， 3，张桂兰， 4，王景玲，4，曾道英。这四位都是我们高中时代的同学，景玲和桂兰中学毕业后就到澳洲求学，毕业后落籍澳洲。和景玲上一次见面，是一九九二年我带儿子来澳州念书时。其他三位，曾于二零零三年回沙巴参加班上毕业40周年团聚；桂兰后来又回来沙巴一次。


在Victoria Market 回味2000年尝过的德国肠。

与陶卿进午餐。陶卿是陶娟的妹妹，我的本家，同辈；也是玉玲的学生。她留学英国，落籍澳洲，是个很虔诚的基督教徒。在墨尔本，她很照顾我女儿。

杨德良兄是玉玲香港中文大学的学长，在墨尔本华社贡献良多。他是这间华人护理院的副主席。

德良兄住在Boxhill. 是华人聚居的一区，区内有很多间华人餐馆，卖的是地道的中国菜。德良伉俪招待我们到一间江浙馆子用晚餐。一九六十年代我在Sydney 求学时，当地中餐馆不多，我没见过一间卖地道的中国菜的，卖的都是西化的简单菜式，以大杂烩最出名，叫做杂碎，澳洲人还当它是中国名菜。现在不同了，杂碎好像失踪了，澳洲人也知道什么是地道的中国菜。粤菜四川菜江浙菜，一应俱全，任君选择。

一九六九年大学毕业后，曾到Rosebud住了一个星期， 帮同学关君清理关闭三季的餐馆和洗碗碟，准备夏天有游客时营业。这次特别来凭吊。忘了餐厅的名字；看到一间叫梨园的，名字似曾相识，但不敢肯定。当时坐过的chiar lift 尚在，但看来是废置了。