(一)理发师的悖论
"在一个村庄里，有一位理发师，他只为所有不剃自己的胡子的人剃胡子”. 可能吗？谁为他剃胡子呢？如果他为自己剃胡子，那他就不只为不剃自己胡子的人剃胡子了；如果他不为自己剃胡子，那他就没为所有不剃自己胡子的人剃胡子了。
表面上看，这句话似很单纯，仔细分析，就会发现它的内在矛盾，它的逻辑不可能性。
符合这这个描述的理发师，是不存在的，因为理发师不可能同时属于“剃自己胡子”和“不剃自己胡子”这两组人。
基于看似正确的假设，作出看似可靠的推理，但却得到矛盾的结果的，就是悖论。
理发师悖论的重要性，不在于它的内容，而在于它的形式。结构上，它与罗素悖论是一样的，那是一个在数学基础理论上非常重要的课题。
集合论(set theory)在数学上很重要；从哲学的视角，数、关系和函数，可以用集合论来完整无余地阐述而使数学建立在纯逻辑的基础上。一百年前，德国数学家/哲学家弗雷格（Frege）就曾尝试通过集合论来作算术的逻辑定义，当时的先驱们以为可以毫无约束地定义集合。罗素认识到其中的困难。他发现，有些集合，可以其本身为元素，有些则不能，如素数或质数这个集合，本身就不是个素数或质数。罗素提出"所有不是其本身的元素的集合"这个集合(the set of all sets that are not member of the set)，是不是它本身的元素？在形式上，这个悖论和理发师悖论是一样的。我们可以断言没有这样的理发师，但如果我们说没有这个集合，那就等于把当时刚建立起来的集合论的基础炸开一个大洞！
罗素悖论清楚表明，当时的集合论的数学定义和处理出了困难。解决这困难，在于适当地限制集合的元素资格。集合论因而从朴素集合论进入到公理集合论。
我有意识地和悖论打交道，始于学集合论，而当时就是学罗素悖论或理发师悖论。我一直记得清楚的，而且时不时拿来玩玩的，是理发师悖论。至于罗素悖论，就有点模糊了。如果不是"温习"了一下，恐怕写不出上面那段文字了。不是因为老了，而是玩的东西好学好记，正经的东西难学难记也。
类似理发师悖论的例子很多，我们也许平时不小心身陷其中而不觉。如骗子说“我说谎” 或者骗子说“我是骗子”， “这句话是假的”，这类自指(self-reference)句，多有这个问题，大家要小心。
邱辑
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